[Mat07] Véletlen mátrixok - BMETE925017

[Reffy Julia]

Véletlen mátrixok
2011/12 tavaszi félév

Doktoranduszoknak, matematikus illetve mérnök-fizikus MSc hallgatóknak
Kód: BMETE925017

Óraszám (elõadás): 2 (az elõadások a félév elsõ felében lesznek igény 
szerint tömbösítve)

Kredit: 3.0

Leírás: Ortogonális és unitér mátrix értékû valószínûségi változók. 
Topologikus csoportok, unitér csoport. Eltolásinvariáns mérték (Haar 
mérték) létezése és egyértelmûsége lokálisan kompakt topologikus 
csoportokon. n dimenziós unitérek csoportja mint 2n dimenziós egységgömb 
felülete, integrálás többdimenziós egységgömb felületén, Haar mérték 
sûrûségfüggvényének meghatározása alacsony dimenzós unitér és ortogonális 
csoportokon. Haar eloszlású unitér értékû valószínûségi változó 
konstrukciója, tulajdonságai, elemek abszolútértékének eloszlása, elemek 
határeloszlása. Eloszlásfüggvények pontonkénti konvergenciájának 
meghatározása momentumok illetve Fourier transzformált segítségével. Haar 
unitér hatványok nyomának határeloszlása, sajátértékek határeloszlása és 
együttes eloszlása. Gauss mátrixok unitér invarianciája, önadjungált Gauss 
mátrixok, Wigner mátrixok. Önadjungált Gauss mátrixok sûrûségfüggvényének 
meghatározása, sajátértékek együttes sûrûségfüggvénye. Wigner féle 
félköreloszlás, Wigner mátrixok sajátértékeinek aszimptotikus 
viselkedésének meghatározása a momentum módszerrel alacsony momentumok 
végessége esetén. A legnagyobb illetve a legkisebb sajátérték 
aszimptotikus viselkedése. Nem önadjungált Gauss mátrixok, poláris 
felbontás, sajátértékek határeloszlása. Wishart mátrixok. Marcsenkó-Pastur 
eloszlás, sajátértékek eloszlásának konvergenciája a dimenzió és a rang 
hányadosának különbözõ határértékei esetén, legnagyobb illetve legkisebb 
sajátérték aszimptotikus viselkedése. Alkalmazások. Boltzmann gázok, 
véletlen gráfok.


Réffy Júlia

Analízis tanszék