[Mat06] Tenzorszorzat

[Pintye Norbert]

Hali!

Bizonyára sokan tették már fel a kérdést közületek, hogy mi is az a
tenzorszorzat. :D Engem, mióta csak lineáris algebrából, illetve
funkcionálanalízisen hallottuk, foglalkoztatott a kérdés, de választ
csak most kaptam rá.

Akit érdekel, annak elmagyarázom, miért volt szükség a tenzorszorzat
értelmezésére, és egyúttal, hogy mit nyerünk a használatával.

Első körben beszélni kellene a vektorterek általánosításának (is)
számító modulusokról. Az egyik legalapvetőbb algebrai struktúra
az Abel-csoport. Ha egy Abel-csoportot egy test elemeivel be
tudunk szorozni, természetesen egy axiomatikus szabályrendszer
keretei között, akkor vektortérről beszélünk. A vektortér skalárokkal
való szorzásra vonatkozó axiómáit mindenki ismeri. Kézenfekvő a
gondolat, hogy ne egy test legyen az, ahonnan a skalárokat merítjük,
hanem egy gyűrű (R). Ekkor kapunk modulust (M). Tehát a modulus
az azon legelemibb algebrai struktúra (mert azzá tehető **), amelyben
egy Abel-csoport elemein gyűrűelemekkel való szorzás értelmezett.
Akit bővebben érdekelnek a modulusaxiómák, a Wikipédián talál forrást
róluk. A modulusokon mint algebrai struktúrákon mindazon konstrukciók
végrehajthatóak, amiket tanultunk: részmodulus, generálás, direkt
összeg, szabadság, faktormodulus, morfizmusok. Egyetlen dologra kell
csupán ügyelni: ** szem előtt tartandó, hogy a skalárral való szorzást
minden skalárra mint műveletet értelmezzük a modulus alaphalmazán,
tehát a modulus struktúrájának része ez a "sok-sok" egyváltozós

f_r : M --> M, f_r(m) = r m (minden r eleme R-re) ún. skalárral való szorzat

művelet, és nem egy R x M --> M leképezés fogja reprezentálni a
szorzást, hiszen ez utóbbi nem is számít műveletnek), ezért nem biztos
(és általában nem is igaz), hogy a modulus mint Abel-csoport
részcsoportja egyben részmodulus is, hiszen lehet, hogy ez a részcsoport
nem "zárt" a skalárral való szorzásra. A rész-, faktor-, stb... konstrukciók
mindig modulus struktúrában értendőek, nem Abel-csoport struktúrában.
Egyszerű példa, ha az R gyűrű egy test. Ekkor a modulus definíciója
egybeesik a vektortér definíciójával, és tudjunk, hogy altéren
(= részvektortér) nem csupán Abel-féle részcsoportját értjük elemeknek,
hanem fontos a skalárral vett szorzatra való "zártság", vagyis itt is
vektortér részstruktúrában gondolkodunk.

Most, hogy a modulusok fogalma tisztázódni látszik, rátérhetünk a
tenzorszorzat fogalmára. Alapvetően két modulus tenzorszorzatáról
beszélünk mindig. Persze később lehet modulushomomorfizmusok
(így vektortér esetén mátrixok) tenzorszorzatát is definiálni, ami
tenzorszorzattereken hat, de ezzel most nem szeretnék foglalkozni,
bárki utánaolvashat. Azzal sem foglalkoznék, hogy egyáltalán hogyan
kell felépíteni két modulus tenzorszorzatát, belátni, hogy létezik,
egyértelmű izomorfizmus erejéig, stb. Ami fontos, az két tulajdonság,
amelyikből az elsővel gyakran definiálják is két modulus tenzorszorzatát.

Definíció: Legyen M és N egy-egy R-modulus. Tenzorszorzatukon az

(M tenzor N, p) párt értjük, ahol p: M x N --> (M tenzor N)

egyfajta beágyazásnak fogható fel, (M tenzor N) egy Abel-csoport,
és mindez eleget tesz egy univerzális tulajdonságnak:

valahányszor g: A x B --> C egy R-biadditív (később R-bilineáris) leképezés,
indukálódik egy G: A tenzor B --> C Abel-csoporthomomorfizmus,
melyre g = G p, azaz ha diagramot rajzolnánk, az kommutatív lenne.

Biadditivitás és bilinearitás alatt értelemszerűen a komponensenkénti
additivitást és linearitást értem. R-bilinearitásról akkor van szó,
mikor belátjuk, hogy a tenzorszorzat Abel-csoportból R-modulussá
léptethető elő. Ezt persze nem teszem meg, elhisszük. Valami olyasmit
látunk tehát, hogy valahányszor van egy kétváltozós, R-bilineáris
leképezésem, annyiszor a tenzorszorzat indukál egy immár egyváltozós
leképezést, ami mégis magában foglalja az előbbit, hiszen a diagram
kommutatív. Nem nehéz elképzelni, hogy nagyjából úgy épül fel egy ilyen
tenzorszorzattér, hogy az M x N elemei által szabadon generált R-modulust
lefaktorizáljuk olyan kifejezésekkel, amik a R-bilinearitásra érzékenyek.
Egy ilyen szabad R-modulus elemei tipikusan (m,n) párok összegei,
különbségei, de fontos, hogy a szabadság miatt, nincs semmilyen
összefüggés a generátorelemek között, pl.: (m,n) - (m,k) != (0,n - k). Ez
nem
a direkt szorzat, ahol a műveletek komponensenként hatnak.

A faktorizáció során a szabad modulus összeesik épp annyira, amennyi még
szükséges, hogy egy R-bilineáris leképezést rekonstruálhassunk. Ez
lenne a kettes számú tulajdonság. Az algebrában linearitást eddig egy
változóban vizsgáltunk, de most kettőre, esetleg többre szeretnénk feltárni,
hogy milyen struktúrát hordoz. Egyszerre szeretnénk a szemünk előtt tartani
a két változó linearitását. A tenzorszorzat remek eszköz erre, hiszen
az R-bilinearitást R-linearitássá konvertálja, de egyértelmű, visszafejthető
módon, és R-linearitást mint egyváltozós tulajdonságot már jól tudunk
vizsgálni. Ha látnánk, hogy a tenzorszorzás asszociatívnak tekinthető
(mint bifunktor az R-modulusok kategóriájában, de ezzel nem fárasztalak
titeket), lehetőség nyílna multilineáris leképezések vizsgálatára.

Tehát a tenzorszorzat tanult tulajdonságai szépek és jók, de igazából nem
mutatják, hogy milyen nagy ereje van. Mondok nektek egy példát, csak
körvonalazva, ami rávilágít erre: tegyük fel, hogy van Abel-csoportom, és
gyűrűvé szeretném tenni valamilyen szorzás művelettel. A kérdésem az,
hogy ilyen művelet létezik-e. Az elmondottak alapján nem olyan nehéz látni,
hogy minden Abel-csoport egyben Z-modulus is, hiszen n eleme Z-vel
(egész számmal) tudunk Abel-csoportelemeket szorozni:

n g = g + g + g + ... + g

Tehát adott egy Z-modulus (G), és szorzást szeretnék rajta értelmezni. Azt
sem
nehéz látni, hogy a szorzásnak, definíciója szerint Z-bilineárisnak
kellene lennie pl: (3 a) * b = (a + a + a) * b = a * b + a * b + a * b = 3
(a * b).
Tehát a szorzat művelet (G x G --> G) indukálna egy

(G tenzor G) --> G

Z-lineáris leképezést. Erre tudjuk, hogy (1 tenzor 1) |--> 1, mert a diagram
kommutatív, és 1 * 1 = 1. De mi van akkor, ha (G tenzor G) = 0. Ez nagyon
sok esetben előfordul. Egyszerűen képtelenség Z-bilineáris leképezést
értelmezni az adott struktúrán (így szorzást sem), és erre az a tanú, hogy
mikor a faktorizáció során minden Z-bilinearitásra érzékeny dolgot
felhasználunk, a tenzorszorzat egyszerűen összeesik. Ez pontosan azt
jelenti,
bár nagyon furcsának tűnik, hogy egy változóról kettőre való áttérés ilyen
sokat
jelent, hogy az adott rendszer nem képes egységbe zárni két Z-lineáris
változót.

Végül egy kis fizikai kitérő: ha jól emlékszem, kvantumfizikában és
kvantum-információelméletben is folyton tenzorszorzatokba botlunk.
Ennek az lehet az oka, hogy egy-egy részecske (vagy információ) természetét
lineáris operátorokkal írjuk le, és mikor két részecske csatolódik, nem
külön-külön, hanem egy részként tekintünk rájuk, tehát újfent egy lineáris
operátor írja le a viselkedést. Semmiképp nem bonthatjuk meg az egységet,
de szeretnénk, hogy ennek mindkét alkotó szerves részét képezze. Algebrailag
erre a lineáris operátorok tenzorszorzata nyújt lehetőséget.

Az algebrában a tenzorszorzatnak kitüntetett szerepe van. Ha egy homologikus
algebra könyvet vesztek a kezetekbe, a fele arról szól, hogy mindenféle
modulusokat, sorozatokat tenzorszoroznak, hogy új modulusokat, új
sorozatokat kapjanak, és miután minden modulusnak és sorozatnak egy-egy
tulajdonságot feleltetnek meg, azt a kérdést vizsgálják, hogy az egyik
tulajdonság
mibe megy át a tenzorszorzást követően. Olyan eredmények is vannak,
miszerint igen sok (a tenzorszorzattól függetlennek látszó) átalakítás
tulajdonképp (mégis) a tenzorszorzásból származik.

Nos, remélem hasznos olvasmánynak bizonyult ezen írás.

Üdv, gruff
-------------- next part --------------
An HTML attachment was scrubbed...
URL: http://lists.math.bme.hu/pipermail/mat06/attachments/20110202/80854392/attachment.htm