Hali!<br><br>Bizonyára sokan tették már fel a kérdést közületek, hogy mi is az a<br>tenzorszorzat. :D Engem, mióta csak lineáris algebrából, illetve<br>funkcionálanalízisen hallottuk, foglalkoztatott a kérdés, de választ<br>
csak most kaptam rá.<br><br>Akit érdekel, annak elmagyarázom, miért volt szükség a tenzorszorzat<br>értelmezésére, és egyúttal, hogy mit nyerünk a használatával.<br><br>Első körben beszélni kellene a vektorterek általánosításának (is)<br>
számító modulusokról. Az egyik legalapvetőbb algebrai struktúra<br>az Abel-csoport. Ha egy Abel-csoportot egy test elemeivel be<br>tudunk szorozni, természetesen egy axiomatikus szabályrendszer<br>keretei között, akkor vektortérről beszélünk. A vektortér skalárokkal<br>
való szorzásra vonatkozó axiómáit mindenki ismeri. Kézenfekvő a<br>gondolat, hogy ne egy test legyen az, ahonnan a skalárokat merítjük,<br>hanem egy gyűrű (R). Ekkor kapunk modulust (M). Tehát a modulus<br>az azon legelemibb algebrai struktúra (mert azzá tehető **), amelyben<br>
egy Abel-csoport elemein gyűrűelemekkel való szorzás értelmezett.<br>Akit bővebben érdekelnek a modulusaxiómák, a Wikipédián talál forrást<br>róluk. A modulusokon mint algebrai struktúrákon mindazon konstrukciók<br>végrehajthatóak, amiket tanultunk: részmodulus, generálás, direkt<br>
összeg, szabadság, faktormodulus, morfizmusok. Egyetlen dologra kell<br>csupán ügyelni: ** szem előtt tartandó, hogy a skalárral való szorzást<br>minden skalárra mint műveletet értelmezzük a modulus alaphalmazán,<br>tehát a modulus struktúrájának része ez a "sok-sok" egyváltozós<br>
<br>f_r : M --> M, f_r(m) = r m (minden r eleme R-re) ún. skalárral való szorzat<br><br>művelet, és nem egy R x M --> M leképezés fogja reprezentálni a<br>szorzást, hiszen ez utóbbi nem is számít műveletnek), ezért nem biztos<br>
(és általában nem is igaz), hogy a modulus mint Abel-csoport<br>részcsoportja egyben részmodulus is, hiszen lehet, hogy ez a részcsoport<br>nem "zárt" a skalárral való szorzásra. A rész-, faktor-, stb... konstrukciók<br>
mindig modulus struktúrában értendőek, nem Abel-csoport struktúrában.<br>Egyszerű példa, ha az R gyűrű egy test. Ekkor a modulus definíciója<br>egybeesik a vektortér definíciójával, és tudjunk, hogy altéren<br>(= részvektortér) nem csupán Abel-féle részcsoportját értjük elemeknek,<br>
hanem fontos a skalárral vett szorzatra való "zártság", vagyis itt is<br>vektortér részstruktúrában gondolkodunk.<br><br>Most, hogy a modulusok fogalma tisztázódni látszik, rátérhetünk a<br>tenzorszorzat fogalmára. Alapvetően két modulus tenzorszorzatáról<br>
beszélünk mindig. Persze később lehet modulushomomorfizmusok<br>(így vektortér esetén mátrixok) tenzorszorzatát is definiálni, ami<br>tenzorszorzattereken hat, de ezzel most nem szeretnék foglalkozni,<br>bárki utánaolvashat. Azzal sem foglalkoznék, hogy egyáltalán hogyan<br>
kell felépíteni két modulus tenzorszorzatát, belátni, hogy létezik,<br>egyértelmű izomorfizmus erejéig, stb. Ami fontos, az két tulajdonság,<br>amelyikből az elsővel gyakran definiálják is két modulus tenzorszorzatát.<br>
<br>Definíció: Legyen M és N egy-egy R-modulus. Tenzorszorzatukon az<br><br>(M tenzor N, p) párt értjük, ahol p: M x N --> (M tenzor N)<br><br>egyfajta beágyazásnak fogható fel, (M tenzor N) egy Abel-csoport,<br>és mindez eleget tesz egy univerzális tulajdonságnak:<br>
<br>valahányszor g: A x B --> C egy R-biadditív (később R-bilineáris) leképezés,<br>indukálódik egy G: A tenzor B --> C Abel-csoporthomomorfizmus,<br>melyre g = G p, azaz ha diagramot rajzolnánk, az kommutatív lenne.<br>
<br>Biadditivitás és bilinearitás alatt értelemszerűen a komponensenkénti<br>additivitást és linearitást értem. R-bilinearitásról akkor van szó,<br>mikor belátjuk, hogy a tenzorszorzat Abel-csoportból R-modulussá<br>léptethető elő. Ezt persze nem teszem meg, elhisszük. Valami olyasmit<br>
látunk tehát, hogy valahányszor van egy kétváltozós, R-bilineáris<br>leképezésem, annyiszor a tenzorszorzat indukál egy immár egyváltozós<br>leképezést, ami mégis magában foglalja az előbbit, hiszen a diagram<br>kommutatív. Nem nehéz elképzelni, hogy nagyjából úgy épül fel egy ilyen<br>
tenzorszorzattér, hogy az M x N elemei által szabadon generált R-modulust<br>lefaktorizáljuk olyan kifejezésekkel, amik a R-bilinearitásra érzékenyek.<br>Egy ilyen szabad R-modulus elemei tipikusan (m,n) párok összegei,<br>
különbségei, de fontos, hogy a szabadság miatt, nincs semmilyen<br>összefüggés a generátorelemek között, pl.: (m,n) - (m,k) != (0,n - k). Ez nem<br>a direkt szorzat, ahol a műveletek komponensenként hatnak.<br><br>A faktorizáció során a szabad modulus összeesik épp annyira, amennyi még<br>
szükséges, hogy egy R-bilineáris leképezést rekonstruálhassunk. Ez<br>lenne a kettes számú tulajdonság. Az algebrában linearitást eddig egy<br>változóban vizsgáltunk, de most kettőre, esetleg többre szeretnénk feltárni,<br>
hogy milyen struktúrát hordoz. Egyszerre szeretnénk a szemünk előtt tartani<br>a két változó linearitását. A tenzorszorzat remek eszköz erre, hiszen<br>az R-bilinearitást R-linearitássá konvertálja, de egyértelmű, visszafejthető<br>
módon, és R-linearitást mint egyváltozós tulajdonságot már jól tudunk<br>vizsgálni. Ha látnánk, hogy a tenzorszorzás asszociatívnak tekinthető<br>(mint bifunktor az R-modulusok kategóriájában, de ezzel nem fárasztalak<br>
titeket), lehetőség nyílna multilineáris leképezések vizsgálatára.<br><br>Tehát a tenzorszorzat tanult tulajdonságai szépek és jók, de igazából nem<br>mutatják, hogy milyen nagy ereje van. Mondok nektek egy példát, csak<br>
körvonalazva, ami rávilágít erre: tegyük fel, hogy van Abel-csoportom, és<br>gyűrűvé szeretném tenni valamilyen szorzás művelettel. A kérdésem az,<br>hogy ilyen művelet létezik-e. Az elmondottak alapján nem olyan nehéz látni,<br>
hogy minden Abel-csoport egyben Z-modulus is, hiszen n eleme Z-vel<br>(egész számmal) tudunk Abel-csoportelemeket szorozni:<br><br>n g = g + g + g + ... + g<br><br>Tehát adott egy Z-modulus (G), és szorzást szeretnék rajta értelmezni. Azt sem<br>
nehéz látni, hogy a szorzásnak, definíciója szerint Z-bilineárisnak<br>kellene lennie pl: (3 a) * b = (a + a + a) * b = a * b + a * b + a * b = 3 (a * b).<br>Tehát a szorzat művelet (G x G --> G) indukálna egy<br><br>(G tenzor G) --> G<br>
<br>Z-lineáris leképezést. Erre tudjuk, hogy (1 tenzor 1) |--> 1, mert a diagram<br>kommutatív, és 1 * 1 = 1. De mi van akkor, ha (G tenzor G) = 0. Ez nagyon<br>sok esetben előfordul. Egyszerűen képtelenség Z-bilineáris leképezést<br>
értelmezni az adott struktúrán (így szorzást sem), és erre az a tanú, hogy<br>mikor a faktorizáció során minden Z-bilinearitásra érzékeny dolgot<br>felhasználunk, a tenzorszorzat egyszerűen összeesik. Ez pontosan azt jelenti,<br>
bár nagyon furcsának tűnik, hogy egy változóról kettőre való áttérés ilyen sokat<br>jelent, hogy az adott rendszer nem képes egységbe zárni két Z-lineáris változót.<br><br>Végül egy kis fizikai kitérő: ha jól emlékszem, kvantumfizikában és<br>
kvantum-információelméletben is folyton tenzorszorzatokba botlunk.<br>Ennek az lehet az oka, hogy egy-egy részecske (vagy információ) természetét<br>lineáris operátorokkal írjuk le, és mikor két részecske csatolódik, nem<br>
külön-külön, hanem egy részként tekintünk rájuk, tehát újfent egy lineáris<br>operátor írja le a viselkedést. Semmiképp nem bonthatjuk meg az egységet,<br>de szeretnénk, hogy ennek mindkét alkotó szerves részét képezze. Algebrailag<br>
erre a lineáris operátorok tenzorszorzata nyújt lehetőséget.<br><br>Az algebrában a tenzorszorzatnak kitüntetett szerepe van. Ha egy homologikus<br>algebra könyvet vesztek a kezetekbe, a fele arról szól, hogy mindenféle<br>
modulusokat, sorozatokat tenzorszoroznak, hogy új modulusokat, új<br>sorozatokat kapjanak, és miután minden modulusnak és sorozatnak egy-egy<br>tulajdonságot feleltetnek meg, azt a kérdést vizsgálják, hogy az egyik tulajdonság<br>
mibe megy át a tenzorszorzást követően. Olyan eredmények is vannak,<br>miszerint igen sok (a tenzorszorzattól függetlennek látszó) átalakítás<br>tulajdonképp (mégis) a tenzorszorzásból származik.<br><br>Nos, remélem hasznos olvasmánynak bizonyult ezen írás.<br>
<br>Üdv, gruff<br>