[Mat06] :)

[Pintye Norbert]

Hali!

Akkor most, mert bizonyára sokan vágytok rá, közlöm Peti és Atesz
Jensen-egyenlőtlenségen alapuló megoldását.

Legyen phi[x_, y_] := Sqrt[x^2 + y^2]

Ez egy konvex függvény, így tetszőleges x_0, y_0 pontban felírható az
érintősíkja (x, y változóban), ami "alatta marad" a függvénynek.

Létezik r, s, t valós, hogy:

r * x_0 + s * y_0 + t = phi[x_0, y_0]
r * x + s * y + t <= phi[x, y]

minden (x, y) pontra (így (a[x], b[x])-re is [ahol x már nem az előbbi
x, csak konzisztens akartam maradni a feladat jelöléseivel]) teljesül.
Válasszuk az x_0 := Int[a[x], {x,0,1}] és y_0 := Int[b[x], {x,0,1}] értéket.

Ekkor: Int[phi[a[x],b[x]], {x,0,1}] >= Int[r * a[x] + s * b[x] + t, {x,0,1}] =
= r * Int[a[x], {x,0,1}] + s * Int[b[x], {x,0,1}] + t = r * x_0 + s * y_0 + t =
= phi[x_0, y_0] = phi[Int[a[x], {x,0,1}], Int[b[x], {x,0,1}]]

Négyzetre emelést követően adódik az állítás. Petinek és Atesznek
mégegyszer kösz!

Üdv, gruff

2010/7/10 Pintye Norbert <norbert.pintye at gmail.com>:
> Szevasztok!
>
> Kezem ügyébe került egy VIK-es versenyfeladat. Nem tudok megbírkózni
> vele, ami elég kiábrándító. Ha esetleg valakinek van megoldási
> javaslata, szívesen várom. A feladat:
>
>  Int[a[x],{x,0,1}]^2 + Int[b[x],{x,0,1}]^2 <=
>  <= Int[Sqrt[a[x]^2 + b[x]^2],{x,0,1}]^2
>
> ahol a[x] és b[x] folytonos függvények a [0,1] intervallumon.
>
> Üdv, gruff
>