[Mat06] Statisztika vizsgán számon kért házi feladatban talált hiba

[Pintye Norbert]

Sziasztok!

Statisztika vizsgán az egyik házi, amit meg kellett oldanom a VI. / 1.
feladat volt. A javító 1 pontot adott rá, de csak a vizsgán vettem
észre, hogy hibás volt a feladat megoldásom. Egyébként, ha valaki úgy
érezte, hogy a házi megoldása nem ért 1 v. 1-epszilon pontot, lehetett
szólni tanárnőnek, és újat adott. Mivel ezt a feladatot nem saját
kútfőből oldottam meg, szeretném maximalizálni annak a valószínűségét
hogy másnak ez ne okozzon kellemetlenséget, így leírom, hogy mi volt a
hiba, és egyúttal a helyes megoldás vázlatát is.

A torzítatlan statisztikám L (azaz lambda) paraméter függvényére:
S(x_1) = [ln (L ^ 2) / L] ^ (x_1) volt. A hiba az, hogy ez nem
statisztika, mert tartalmazza magát lambdát (S(x_1, L)). Innentől
kezdve az egész feladat megoldása rossz.

Egy helyes gondolatmenet: S(x_1) = 2 ||(x_1 = 2), ahol || indikátor
függvényt jelöl. Ez a statisztika már csak x_1-től függ, és
torzítatlan, mert: E[S(x_1)] = 0 * P(x_1 != 2) +
+ 2 * P(x_1 = 2) = "x_1 L paraméterű poisson eloszlású" = 2 * (L ^ 2)
* [e ^ (-L)] / 2! =
= (L ^ 2) * [e ^ (-L)], ami pontosan a becsülendő paraméterfüggvény volt.

Elégséges statisztika: T(x) = Sum(x_i, i = 1..n)

Blackwellizálás: E[S | T] = 0 * P(x_1 != 2 | T) + 2 * P(x_1 = 2 | T)

P(x_1 = 2 | T = t) = P(x_1 = 2 és T = t) / P(T = t) =
= P(x_1 = 2 és Sum(x_i, i = 2..n) = t - 2) / P(T = t) = "x_i -k
függetlensége miatt" =
= P(x_1 = 2) * P(Sum(x_i, i = 2..n) = t - 2) / P(T = t)

ahol az egyes valószínűségek poisson eloszlású valószínűségi
változókra, illetve ezek összegére vonatkoznak, azaz szintén poisson
eloszlású val.vál.-okra.

Mindenkinek áldott, békés karácsonyi ünnepeket és boldog új évet kívánok!

Üdv, Pintye