[Mat06] x^2+p*x+q teljes négyzet

[Szabó Péter]

Sziasztok!

Nem tudom, mennyire offtopic, mindenesetre a villamoson eszembe jutott egy 
megoldásvázlat az alábbi feladatra:

Bizonyítsa be, hogy ha az x^2+p*x+q polinom végtelen sok egész helyen 
négyzetszám, akkor a polinom egy elsőfokú polinom négyzete.

Ha még be lehet adni, és valaki be akarja adni, akkor ne olvasson tovább.

Megoldásvázlat:

Lemma. Ha egy végtelen sok négyzetszámot tartalmazó számhalmaz minden 
eleme d>0-val tér el egy négyzetszámtól, akkor a halmaznak legfeljebb 
véges sok eleme lehet.

A lemma bizonyítása. Mivel a négyzetszámok egyre ritkulnak, ezért ha egy 
(d-től függő) elég nagy n szám d-vel tér el egy k^2 négyzetszámtól, akkor 
n nem lehet négyzetszám, mert k^2 d sugarú környezetében nincs másik 
négyzetszám.

Vegyük az a_n=n^2+p*n+q sorozatot. (Ha e sorozat csak véges sok 
négyzetszámot tartalmazna, akkor vegyük helyette az b_n=(-n)^2+p*(-n)+q 
sorozatot. A feladat feltétele miatt az a_n és b_n sorozatok egyikében 
van végtelen sok négyzetszám.) Tehát az {a_n} számhalmaz végtelen sok 
négyzetszámot tartalmaz, továbbá a_n=(n+p/2)^2+(q-p^2/4), tehát ha 
d=abs(q-p^2/4)-et választjuk, akkor d=0 esetén a feladat állítása be van 
bizonyítva, és d!=0 esetén pedig az {a_n} halmaz minden eleme d>0-val tér 
el egy négyzetszámtól, (n+p/2)^2-től. Tehát a lemmát alkalmazva:
az {a_n} halmaznak csak véges sok eleme van. Viszont az n^2+p*n+q 
polinom nagy n-ekre szigorúan monoton növekvő, tehát emiatt az {a_n} 
halmaznak végtelen sok eleme van. Ellentmondás.

Akkor van baj, ha p/2 nem egész szám, mert ekkor n+p/2 nem négyzetszám 
(mivel nem egész). Könnyen meggondolható, hogy ha a négyzetszám
fogalma helyett a ,,félnégyzetszám''-ot használjuk (s félnégyzetszám, ha 
egy egész szám felének a négyzete), akkor a fentihez hasonló bizonyítás 
készíthető.

Üdv:

pts