Borbély Gábor R0AC5J

Az alap leképezések : P:ℂ⋃{∞}↦(S^2) a sztereografikus projekció. (P^(-1)):(S^2)↦ℂ⋃{∞} pedig az inverze (P1).

P[{x1_, x2_}]:=(({2x1, 2x2, (x1^2)+(x2^2)-1})/(1+(x1^2)+(x2^2)))
P1[{x_, y_, z_}]:=(({x,y})/(1-z))

Az (Subscript[R, z, w]):ℂ⋃{∞}↦ℂ⋃{∞} a törtlineáris trafó. (Subscript[R, z, w]) és P is bijektív.

R[z1_, z2_, w1_, w2_]:=Function[{X}, (ComplexExpand[{Re[#], Im[#]}]&)[(((z1+z2 I) (X[[1]]+X[[2]] I)+w1+w2 I)/((-w1+w2 I) (X[[1]]+X[[2]] I)+z1-z2 I))]]

1.)

Mi lehet a P∘(Subscript[R, z, w])∘(P^(-1)):(S^2)↦(S^2) leképezés?
z=z1+z2 i, w=w1+w2 i

({x, y, z}//MatrixForm)↦(Expand[Simplify[P[R[z1, z2, w1, w2][P1[{x, y, z}]]],Assumptions->{(w1^2)+(w2^2)+(z1^2)+(z2^2)==1, (x^2)+(y^2)+(z^2)==1}]]//MatrixForm)

Látható, hogy A=P∘(Subscript[R, z, w])∘(P^(-1)) lineáris. Mi lehet a mátrixa?
Legyen a bázis az (Subscript[e, 1])=(1, 0, 0), (Subscript[e, 3])=(0, 1, 0), (Subscript[e, 3])=(0, 0, -1). M=[A((Subscript[e, 1]))|A((Subscript[e, 2]))|A((Subscript[e, 3]))]
Azért nem a standard bázis, hogy az ideális ponttal ne kelljen explicit számolni.

(M=Transpose[Simplify[P[R[z1, z2, w1, w2][P1[#]]],Assumptions->{(w1^2)+(w2^2)+(z1^2)+(z2^2)==1}]&/@{{1, 0, 0}, {0, 1, 0},{0, 0, -1}}])//MatrixForm

Simplify[Det[M],Assumptions->{(w1^2)+(w2^2)+(z1^2)+(z2^2)==1}]

Simplify[Expand[Transpose[M].M],Assumptions->{(w1^2)+(w2^2)+(z1^2)+(z2^2)==1}]//MatrixForm

Az (Subscript[e, 1]), (Subscript[e, 2]), (Subscript[e, 3]) bázis bal sodrású rendszer volt és A((Subscript[e, 1])), A((Subscript[e, 2])), A((Subscript[e, 3])) is az lett, tehát irányítástartó. És MᵀM=E, tehát M egy forgatás.

2.)

Másfelől minden R:(S^2)↦(S^2) forgatás előáll ilyen módon:
Legyen a (OverTilde[u]) és a (OverTilde[v]) két nem egy átmérőre eső pont az egységgömbön, mondjuk az (OverTilde[u])=(0, 0,1) és a (OverTilde[v])=(1, 0, 0) (a komplex síkon a megfelelőik: u=∞ és v=1), nézzük meg, hova mennek a forgatás során ((Subscript[(OverTilde[u]), R]) és (Subscript[(OverTilde[v]), R])) és vetítsük le ezeket a komplex síkra. Ez a két pont legyen (Subscript[u, R]) és (Subscript[v, R]). Ez a két pont és képeik meghatározzák a forgatást a gömbön, mit határoznak meg a komplex síkon?
Próbáljunk olyan z, w∈ℂ számokat keresni, amelyekre  ((|z|)^2)+((|w|)^2)=1 és P∘(Subscript[R, z, w])∘(P^(-1)) egybeesik a forgatással a két alapponton, pontosabban úgy, hogy (Subscript[R, z, w])=(P^(-1))∘R∘P legyen igaz a két alapponton.

(Subscript[R, z, w])(∞)=(z/(-(OverBar[w])))=(Subscript[u, R]), (Subscript[R, z, w])(1)=((z+w)/(-(OverBar[w])+(OverBar[z])))=(Subscript[v, R])

z=-(Subscript[u, R]) (OverBar[w]), ((-(Subscript[u, R]) (OverBar[w])+w)/(-(OverBar[w])+((OverBar[-(Subscript[u, R]) (OverBar[w])]))))=(Subscript[v, R])

-(Subscript[u, R]) (OverBar[w])+w=(Subscript[v, R])(-(OverBar[w])-(OverBar[(Subscript[u, R])]) w)=-(Subscript[v, R])(OverBar[w])-(Subscript[v, R])(OverBar[(Subscript[u, R])]) w

w+(Subscript[v, R])(OverBar[(Subscript[u, R])]) w=(Subscript[u, R]) (OverBar[w])-(Subscript[v, R])(OverBar[w])

(w/(OverBar[w]))=(((Subscript[u, R])-(Subscript[v, R]))/(1+(OverBar[(Subscript[u, R])]) (Subscript[v, R])))

Ez meghatározza z-t és w-t egy nem nulla szorzó erejéig, normáljunk úgy, hogy  ((|z|)^2)+((|w|)^2)=1. Kivéve, ha (Subscript[u, R]) vagy (Subscript[v, R]) ideális pont. Mindkettő nem lehet ideális, mert a forgatás bijektív és nem képződhetnek ugyan oda. Ha az egyik ∞, akkor a másik nem lehet 0, mert nem képződhetnek egy egyenesre azok a pontok, melyek nem egy egyenesen voltak (a gömbi megfelelőik). Ha (Subscript[v, R])=∞, akkor (w/(OverBar[w]))=((-1)/((OverBar[(Subscript[u, R])]) )) jól meghatározott. Ha (Subscript[u, R])=∞, akkor (z/(-(OverBar[w])))=(Subscript[u, R]) csak úgy teljesülhet, ha |w|=0⇔w=0 ⇒ |z|=1 és z irányát ((z+w)/(-(OverBar[w])+(OverBar[z])))=(Subscript[v, R])≠0 definiálja (w=0-t beírva).
Ezzel a z, w-vel a P∘(Subscript[R, z, w])∘(P^(-1)) transzformáció pont az R forgatás lesz, mert két ponton megegyezik vele és maga is egy forgatás.

Ezt mondtam el a vizsgán

És el is fogadta, de nem vett észre egy hibát (és én sem).

Kiegészítés

Kell még: |(((Subscript[u, R])-(Subscript[v, R]))/(1+(OverBar[(Subscript[u, R])]) (Subscript[v, R])))|=1.

1.) (Subscript[v, R])=∞

Vagyis a (1, 0, 0) pont a (0, 0, 1)-be ment (északi sark), tehát a rá eredetileg merőleges (0, 0, -1) valahol az egyenlítőn van. Tehát (Subscript[(OverTilde[u]), R])=(x, y, 0) ⇒ (Subscript[u, R])=(P^(-1))((Subscript[(OverTilde[u]), R]))=x+y i, és (x^2)+(y^2)=1, mert a gömbön is egység hosszú volt. Vagyis |(Subscript[u, R])|=1, így (w/(OverBar[w]))=((-1)/((OverBar[(Subscript[u, R])]) )) is egység hosszú.

2.) (Subscript[u, R])=∞

(Subscript[u, R]) nem mozdult, vagyis egy függőleges tengely körüli forgatás az R. Tehát (Subscript[(OverTilde[v]), R]) az egyenlítőn van, innen |(Subscript[v, R])|=1, ezért ((z+w)/(-(OverBar[w])+(OverBar[z])))=(z/(OverBar[z]))=(Subscript[v, R]) ez is egységvektor, tehát z is jól definiált.

3.) Általános eset

Hol lehet P((((Subscript[u, R])-(Subscript[v, R]))/(1+(OverBar[(Subscript[u, R])]) (Subscript[v, R])))) a gömbön, pontosabban mi a z koordinátája? Kihasználjuk, hogy ⟨P((Subscript[u, R]));P((Subscript[v, R]))⟩=0; mivelhogy (OverTilde[u]) és (OverTilde[v]) merőleges volt, (Subscript[(OverTilde[u]), R]) és (Subscript[(OverTilde[v]), R]) is az lesz.

Simplify[P[ComplexExpand[({Re[#], Im[#]}&)[((ur1+ur2 I-vr1-vr2 I)/(1+(ur1-ur2 I)(vr1+vr2 I)))]]][[3]], Assumptions->{P[{ur1, ur2}].P[{vr1, vr2}]==0}]

Tehát P((((Subscript[u, R])-(Subscript[v, R]))/(1+(OverBar[(Subscript[u, R])]) (Subscript[v, R]))))-nek a z koordinátája 0, és ilyen pontokat P helyben hagyja, tehát |P((((Subscript[u, R])-(Subscript[v, R]))/(1+(OverBar[(Subscript[u, R])]) (Subscript[v, R]))))|=1 ⇒ |(((Subscript[u, R])-(Subscript[v, R]))/(1+(OverBar[(Subscript[u, R])]) (Subscript[v, R])))|=1.