\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}

\addtolength{\textwidth}{3cm}
\addtolength{\hoffset}{-1.5cm}
\addtolength{\textheight}{2cm}
\addtolength{\voffset}{-1cm}

\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{prop}{\'All\'it\'as}
\newtheorem*{lem}{Lemma}
\newtheorem*{thm}{T\'etel}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defn}{Defin\'ici\'o}
\newtheorem*{notation}{Jel\"ol\'es}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{example}{P\'elda}
\newtheorem*{cor}{K\"ovetkezm\'eny}
\newtheorem*{rem}{Megjegyz\'es}

\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}

\frenchspacing

\begin{document}

\section{A m\'atrix exponenci\'alis}
A k\"ovetkez\H okben $X\in \Mat_{n}(\mathbb{R})$ vagy $X\in \Mat_{n}(\mathbb{C})$.
\begin{prop}
Az
\begin{equation}
e^{X}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^{n}}{n!}
\end{equation}
sor konverg\'al minden $X\in\Mat_{n}(\mathbb{C})$-re \'es a hat\'ar\'ert\'ek $X$-nek
folytonos f\"uggv\'enye.
\end{prop}
\begin{proof}
A $\Mat_{n}(\mathbb{C})\simeq\mathbb{C}^{n^{2}}$ azonos\'it\'ast haszn\'alva az
\begin{equation}
\|X\|:=\left(\sum_{1\le i,j\le n}|X_{ij}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\end{equation}
$L_{2}$-norm\'aval dolgozunk, amelyre $\|X\cdot Y\|\le\|X\|\cdot\|Y\|$ teljes\"ul,
speci\'alisan $\|X^{m}\|\le\|X\|^{m}$, \'es \'igy
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty}\left\|\frac{X^{k}}{k!}\right\|\le\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\|X\|^{k}}{k!}=e^{\|X\|}<\infty
\end{equation}
teh\'at a sor abszol\'ut konvergens, \'igy konvergens is. M\'asr\'eszt
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^{n}}{n!}
\end{equation}
egyenletesen konverg\'al az $\{X|\|X\|\le r\}$ t\'ipus\'u halmazokon, teh\'at a
hat\'ar\'ert\'ek $e^{X}$ folytonos f\"uggv\'enye $X$-nek.
\end{proof}

\begin{prop}
\begin{enumerate}[(1)]
\item $(e^{X})^{*}=e^{X^{*}}$
\item $e^{X}\in GL(n,\mathbb{C})$, $(e^{X})^{-1}=e^{-X}$
\item $\forall\alpha,\beta\in\mathbb{C}:e^{(\alpha+\beta)X}=e^{\alpha X}e^{\beta X}$
\item $XY=YX\Rightarrow e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}=e^{Y}e^{X}$
\item $C\in GL(n,\mathbb{C})\Rightarrow e^{CXC^{-1}}=Ce^{X}C^{-1}$
\item $\|e^{X}\|\le e^{\|X\|}$
\item $t\in\mathbb{R}:e^{tX}$ sima g\"orbe, $\frac{d}{dt}e^{tX}=e^{tX}X=Xe^{tX}$
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item A $^{*}$ lek\'epez\'es $\mathbb{R}$-line\'aris \'es folytonos (mert $L_{2}$-izometria)
\item K\"ovetkezik (4)-b\H ol, mivel $e^{0}=I$.
\item K\"ovetkezik (4)-b\H ol.
\item $e^{X}, e^{Y}$ abszol\'ut konvergens, \'igy tagonk\'ent \"osszeszorozhatjuk:
\begin{equation}
\begin{split}
e^{X}e^{Y} & = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{X^{k}}{k!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{Y^{m}}{m!}\right)  \\
  & = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{X^{k}Y^{m-k}}{k!(m-k)!}  \\
  & = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{m=0}^{\infty}\binom{k}{m}X^{m}Y^{k-m}  \\
  & = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(X+Y)^{k}}{k!}  \\
  & = e^{X+Y}
\end{split}
\end{equation}
\item $X\mapsto CXC^{-1}$ folytonos, line\'aris, szorz\'astart\'o
\item Az el\H oz\H o \'all\'it\'as bizony\'it\'as\'aban l\'attuk.
\item Deriv\'aljuk $e^{tX}$-et tagonk\'ent.
\end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{M\'atrix exponenci\'alis kisz\'am\'it\'asa}
\begin{thm}
$\forall A\in\Mat_{n}(\mathbb{C}):\exists! S,N\in\Mat_{n}(\mathbb{C})$, hogy
$A=S+N$, $SN=NS$, $S$ diagonaliz\'alhat\'o, $N$ nilpotens. (Jordan-f\'ele norm\'alalak)
\end{thm}
Ezt a t\'etelt haszn\'alva tetsz\H oleges m\'atrix exponenci\'alis\'at
kisz\'am\'ithatjuk:
\begin{enumerate}[1.]
\item $A$ diagonaliz\'alhat\'o: $A=CDC^{-1}$, ahol $D=diag(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n})$
\begin{equation}
e^{A}=e^{CDC^{-1}}=Ce^{D}C^{-1}=C\left(\begin{array}{ccc}
e^{\lambda_{1}}  &  &  0  \\
  &  \ddots  &  \\
0  &  &  e^{\lambda_{n}}
\end{array}\right)C^{-1}
\end{equation}
\item $A$ nilpotens: ha $0=A^{l}=A^{l+1}=...$, akkor
\begin{equation}
e^{A}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{l-1}\frac{A^{k}}{k!}
\end{equation}
v\'eges \"osszeg.
\item $A$ \'altal\'anos: $A=S+N$ a fenti t\'etel szerinti egy\'ertelm\H u felbont\'as, ezzel
\begin{equation}
e^{A}=e^{S+N}=e^{S}e^{N}
\end{equation}
\end{enumerate}

\subsection{Feladatok}
\begin{enumerate}[1.]
\item
\begin{equation}
\exp\left(\begin{array}{cc}
0 & -a  \\
a & 0  \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cc}
\cos a  & -\sin a  \\
\sin a & \cos a  \\
\end{array}\right)
\end{equation}
diagonaliz\'alhat\'o
\item
\begin{equation}
\exp\left(\begin{array}{ccc}
0 & a & b  \\
0 & 0 & c  \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & \frac{1}{2}(2b+ac)  \\
0 & 1 & c  \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{equation}
nilpotens
\item
\begin{equation}
\exp\left(\begin{array}{cc}
a & b  \\
0 & a  \\
\end{array}\right)
=
\exp\left(\begin{array}{cc}
a & 0  \\
0 & a  \\
\end{array}\right)
\exp\left(\begin{array}{cc}
0 & b  \\
0 & 0  \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{cc}
e^{a}  & be^{a}  \\
0 & e^{a}  \\
\end{array}\right)
\end{equation}
\end{enumerate}

\subsection{Lie-f\'ele szorzatformula}
\begin{prop}
$X,Y\in\Mat_{n}(\mathbb{C})\Rightarrow e^{X+Y}=\lim_{m\to\infty}\left(e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}\right)^{m}$
\end{prop}
\begin{proof}
$e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}=I+\frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+O(\frac{1}{m^{2}})$.
Mivel $e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}\to I$ ($m\to\infty$), ez\'ert el\'eg nagy
$m$-re $e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}\in D(\log)$. Ekkor
\begin{equation}
\begin{split}
\log(e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}})
  & = \log(I+\frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+O(\frac{1}{m^{2}}))  \\
  & = \frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+O\left(\frac{1}{m^{2}}\right)+O\left(\left\|\frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+O\left(\frac{1}{m^{2}}\right)\right\|^{2}\right)  \\
  & = \frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+O\left(\frac{1}{m^{2}}\right)
\end{split}
\end{equation}
miatt
\begin{equation}
e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}=e^{\left(\frac{X}{m}+\frac{Y}{m}+O\left(\frac{1}{m^{2}}\right)\right)}
\end{equation}
\'igy
\begin{equation}
\left(e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}\right)^{m}=e^{\left(X+Y+O\left(\frac{1}{m}\right)\right)}
\end{equation}
Az exponenci\'alis f\"uggv\'eny folytonoss\'aga miatt $\lim_{m\to\infty}\left(e^{\frac{X}{m}}e^{\frac{Y}{m}}\right)^{m}=e^{X+Y}$
\end{proof}

\subsection{M\'atrix logaritmus}
Ha $z\in\mathbb{C}$,
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{(z-1)^{m}}{m}
\end{equation}
\'ertelmes \'es $z$-ben analitikus a $|z-1|<1$ k\"or\"on. Itt $e^{\log z}=z$, \'es
ha $|u|<\log 2$, akkor $|e^{u}-1|<1$ \'es $\log e^{u}=u$

Ezut\'an tetsz\H oleges $A\in\Mat_{n}(\mathbb{C})$-re
\begin{equation}
\log A:=\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{(A-I)^{m}}{m}
\end{equation}
ha konvergens. Mivel $\|(A-I)^{m}\|\le\|A-I\|^{m}$, $\log A$ konverg\'al, ha
$\|A-I\|<1$ (Konvergencia akkor is el\H ofordulhat, ha $\|A-I\|>1$). Teh\'at
$\log A$ j\'ol defini\'alt \'es folytonos $\|A-I\|<1$-re.

\begin{prop}
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\|A-I\|<1\Rightarrow e^{\log A}=A$
\item $\|X\|<\log 2\Rightarrow \|e^{X}-I\|<1$ \'es $\log e^{X}=X$
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Ha $A$ diagonaliz\'alhat\'o: $A-I=CDC^{-1}-I=C(D-I)C^{-1}$, teh\'at
$(A-I)^{m}=C diag((\lambda_{1}-1)^{m},\ldots,(\lambda_{n}-1)^{m}) C^{-1}$.
Ha $\|A-I\|<1$, akkor $\forall 1\le i\le n$-re $|\lambda_{i}-1|<1$, azaz
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{(A-I)^{m}}{m}=C diag(\log\lambda_{1},\ldots,\log\lambda_{n}) C^{-1}
\end{equation}
amib\H ol
\begin{equation}
e^{\log A}=C diag(e^{\log\lambda_{1}},\ldots,e^{\log\lambda_{n}}) C^{-1}=A
\end{equation}

Ha $A$ nem diagonaliz\'alhat\'o, legyen $(A_{m})$ sorozat olyan, hogy $\lim_{m\to\infty}A_{m}=A$
\'es $\forall m:A_{m}$ diagonaliz\'alhat\'o. $\|A-I\|<1$ miatt el\'eg nagy $m$-ekre
$\|A_{m}-I\|<1$, \'igy $e^{\log A_{m}}=A_{m}$, ebb\H ol $\exp$, $\log$ folytonoss\'aga
miatt $e^{\log A}=A$.

\item $\|X\|<\log 2\Rightarrow \|e^{X}-I\|<1$ \'es az $(a)$ r\'esz bizony\'it\'asa
\'atvihet\H o.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{prop}
$\exists C>0:\|B\|<\frac{1}{2}\Rightarrow\|\log(I+B)-B\|\le C\|B\|^{2}$
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{equation}
\begin{split}
\log(I+B)-B
  & = \sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{B^{m}}{m}  \\
  & = B^{2}\sum_{m=2}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{B^{m-2}}{m}
\end{split}
\end{equation}
miatt
\begin{equation}
\|\log(B-I)-B\|\le\|B\|^{2}\sum_{m=2}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{m-2}}{m}
\end{equation}
\end{proof}

\subsection{M\'atrix Lie-csoport Lie-algebr\'aj\'anak kisz\'am\'it\'asa}
\begin{prop}
Ha $G$ m\'atrix Lie-csoport, akkor $\mathfrak{G}=\{A\in\Mat_{n}(\mathbb{C})|\forall t\in R:e^{tA}\in G\}$
\end{prop}

\begin{prop}
$\det e^{A}=e^{\Tr A}$
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $A$ diagonaliz\'alhat\'o: $A=C diag\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}) C^{-1}$,
\'igy $e^{A}=C diag(e^{\lambda_{1}},\ldots,e^{\lambda_{n}}) C^{-1}$.
\begin{equation}
\det e^{A}=\prod_{i=1}^{n}e^{\lambda_{i}}=e^{\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}}=e^{\Tr A}
\end{equation}

Ha $A$ nilpotens: $A=CUC^{-1}$, ahol $U$ fels\H o h\'aromsz\"og m\'atrix, ennek
exponenci\'alis\'aban a diagon\'alis csupa $1$, teh\'at $\Tr_{A}=0$ \'es $\det e^{A}=1$

Tetsz\H oleges $A$-ra az $A=S+N$ felbont\'as alapj\'an.
\end{proof}

$\mathfrak{sl}(n)$: Ha $\Tr A=0$, akkor $\det(e^{tA})=1$ minden $t\in\mathbb{R}$-re.
Megford\'itva: ha $A\in\Mat_{n}(\mathbb{C})$ olyan, hogy $\forall t\in\mathbb{R}:\det(e^{tA})=1$,
akkor $\forall t\in\mathbb{R}:e^{t\Tr A}=1\iff\forall t\in\mathbb{R}:t\Tr A\in 2\pi i\mathbb{Z}\iff \Tr A=0$.
eszerint
\begin{equation}
\mathfrak{sl}(n)=\{A\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})|\Tr A=0\}
\end{equation}

$\mathfrak{u}(n)$: $e^{tX}$ unit\'er $\forall t\in\mathbb{R}\iff$ $(e^{tX})^{*}=(e^{tX})^{-1}=e^{-tX}$,
m\'asr\'eszt $(e^{tX})^{*}=e^{tX^{*}}$, teh\'at $e^{tX^{*}}=e^{-tX}$. Ha $X^{*}=-X$,
akkor $X\in\mathfrak{u}(n)$. Megford\'itva, ha $\forall t\in\mathbb{R}: e^{tX^{*}}=e^{-tX}$,
akkor $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}$-b\'ol l\'atjuk, hogy $X^{*}=-X$. Ebb\H ol
\begin{equation}
\mathfrak{u}(n)=\{X\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})|X^{*}=-X\}
\end{equation}
\begin{equation}
\mathfrak{su}(n)=\{X\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})|X^{*}=-X,\Tr X=0\}
\end{equation}

$\mathfrak{o}(n)$: $e^{tX}\in O(n)\iff e^{tX^{T}}=e^{-tX}\Rightarrow$ ha
$X^{T}=-X$, akkor $X\in\mathfrak{o}(n)$. Megford\'itva, $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}$-b\'ol
$X\in\mathfrak{o}(n)$ alapj\'an $X^{T}=-X$.
\begin{equation}
\mathfrak{o}(n)=\mathfrak{so}(n)=\{X\in\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})|X^{T}=-X\}
\end{equation}
mert $X^{T}=-X\Rightarrow\Tr X=0$.

\section{\'Erint\H ovektorok \'es deriv\'al\'asok}

$M$ sima sokas\'ag, $x\in M$. Egy $\mathbb{R}$-\'ert\'ek\H u $x$-beli f\"uggv\'enycs\'ira
$(U,f)$ alak\'u p\'arok egy ekvivalenciaoszt\'alya, ahol $U\subseteq M$ $x$ egy
ny\'ilt k\"ornyezete, $f:U\to\mathbb{R}$ $C^{\infty}$ f\"uggv\'eny, \'es
$(U,f)\sim(V,g)$, ha $\exists W\subseteq M$ ny\'ilt k\"ornyezete $x$-nek, amelyre
$W\subseteq U\cap V$, $f|_{W}=g|_{W}$. Ezen ekvivalenciaoszt\'alyok halmaza
$\mathcal{O}_{M,x}$, amely $\mathbb{R}$-algebra, \'es az $x$-beli ki\'ert\'ekel\'es
egy $ev_{x}:\mathcal{O}_{M,x}\to\mathbb{R}$ sz\"urjekt\'iv homomorfizmust defini\'al.
\begin{equation}
\mathfrak{m}_{x}:=\ker ev_{x}=\{[(U,f)]|f(x)=0\}
\end{equation}
\begin{prop}
$(\mathcal{O}_{M,x},\mathfrak{m}_{x})$ lok\'alis gy\H ur\H u, azaz pontosan egy
maxim\'alis ide\'al van $\mathcal{O}_{M,x}$-ben, $\mathfrak{m}_{x}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $[(U,f)]\in\mathcal{O}_{M,x}-\mathfrak{m}_{x}$, ekkor $f(x)\neq 0\Rightarrow$
l\'etezik $V\subseteq U$ ny\'ilt k\"ornyezete $x$-nek, amelyen $f\neq 0$, teh\'at
$\frac{1}{f}\in C^{\infty}(V)$. $[(U,f)]\cdot[V,\frac{1}{f}]=[(V,1)]=1\in\mathcal{O}_{M,x}$
\end{proof}
\begin{prop}
Legyen $0\in U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ ny\'ilt, $f\in C^{\infty}(U)$ \'es tegy\"uk
fel, hogy $\forall(0,x_2,\ldots,x_n)\in U$ eset\'en $f(0,x_2,\ldots,x_n)=0$.
Ekkor
\begin{displaymath}
g(x_1,\ldots,x_n):=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{x_1}f(x_1,\ldots,x_n)  &  x_1\neq 0  \\
\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2,\ldots,x_n)  &  x_1=0
\end{array}\right.
\end{displaymath}
egy sima f\"uggv\'eny $U$-n.
\end{prop}
\begin{proof}
El\H osz\"or bel\'atjuk, hogy $g$ folytonos: r\"ogz\'itett $x_2,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$
eset\'en
\begin{equation}
\begin{split}
\lim_{x_1\to 0}\frac{1}{x_1}f(x_1,\ldots,x_n)
 & = \lim_{x_1\to 0}\frac{f(x_1,\ldots,x_n)-f(0,x_2,\ldots,x_n)}{x_1}  \\
 & = \frac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2,\ldots,x_n)
\end{split}
\end{equation}
A konvergencia egyenletes $\mathbb{R}^{n-1}=\langle x_2,\ldots,x_n\rangle$
kompakt r\'eszhalmazain, mivel a Taylor-formula marad\'ektagj\'ab\'ol
\begin{equation}
\left|\frac{1}{x_1}f(x_1,\ldots,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2,\ldots,x_n)\right|\le\frac{C}{2}x_1
\end{equation}
ahol $C:=\sup\left|\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}\right|$.
Mivel $f$ sima, $\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2,\ldots,x_n)$ folytonos $\Rightarrow g$
is folytonos (z\'art halmaz menti ragaszt\'as).

A fenti \'ervel\'es azt is mutatja, hogy $\forall n:\frac{\partial^{m}}{\partial x_{1}^{m}}$
folytonos.
\begin{equation}
\frac{\partial^{k_2+\ldots+k_n}f}{\partial x_2^{k_2}\ldots\partial x_n^{k_n}}
\quad\textrm{\'es}\quad
\frac{\partial^{k_2+\ldots+k_n}g}{\partial x_2^{k_2}\ldots\partial x_n^{k_n}}
\textrm{-re}
\end{equation}
alkalmazva az eddigieket kapjuk, hogy minden parci\'alis deriv\'alt folytonos,
$g\in C^{\infty}(U)$
\end{proof}

\begin{prop}
Legyenek $\alpha_1=[x_1],\ldots,\alpha_n=[x_n]\in\mathcal{O}_{M,x}$ $x$-beli lok\'alis
koordin\'at\'ak egy rendszer\'enek a cs\'ir\'ai.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ gener\'alj\'ak $\mathfrak{m}_{x}$-et
\item $\dim_{\mathbb{R}}\mathfrak{m}_{x}/\mathfrak{m}_{x}^{2}=n$ \'es
$\mathfrak{m}_{x}/\mathfrak{m}_{x}^{2}$ egy b\'azisa $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Legyen $[(U,f)]\in\mathfrak{m}_{x}$, \'irjuk $f$-et $f_1+f_2$ alakba, ahol
$f_1(x_1,\ldots,x_n):=f(0,x_2,\ldots,x_n)$ \'es $f_2=f-f_1$.

Az el\H oz\H o \'all\'it\'as miatt $[(U,f_2)]\in\alpha_1\mathcal{O}_{M,x}$, viszont
$f_2$ egy $x_2,\ldots,x_n$-beli sima f\"uggv\'eny cs\'ir\'aja, amelyre $f_2(x)=0\Rightarrow$
$n$-re vonatkoz\'o indukci\'oval k\'eszen vagyunk.
\item Legyen az eddigi jel\"ol\'essel
\begin{equation}
a_{i}:=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)
\end{equation}
Ekkor $f-\sum_{i=1}^{n}a_i x_i$ m\'asodrendben elt\H unik $x$-ben (\'ertsd: $f$
\'es minden els\H orend\H u parci\'alis deriv\'altja $0$).

Kell: $[f-\sum_{i=1}^{n}a_i x_i]\in\mathfrak{m}_{x}^{2}$. Ehhez legyen $f=f_1+f_2+f_3$, ahol
\begin{equation}
\begin{split}
f_1(x_1,\ldots,x_n) & := f(x_1,\ldots,x_n)-f(0,x_2,\ldots,x_n)-x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2,\ldots,x_n)  \\
f_2(x_1,\ldots,x_n) & := f(0,x_2,\ldots,x_n)  \\
f_3(x_1,\ldots,x_n) & := x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(0,x_2,\ldots,x_n)
\end{split}
\end{equation}
Az el\H oz\H o \'all\'it\'as miatt $f_1=\frac{1}{x_1^{2}}h$, $h\in C^{\infty}(U)$
(k\'etszer alkalmazva), \'igy $[f_1]\in\mathfrak{m}_{x}^{2}$.

$f_2$ \'es els\H orend\H u parci\'alis deriv\'altjai elt\H unnek $x$-ben, de
$f_2$-ben csak $x_2,\ldots,x_n$ van $\Rightarrow$ indukci\'o miatt $[f_2]\in\mathfrak{m}_{x}^{2}$

$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)=0\Rightarrow\left[\frac{\partial f}{\partial x_1}\right]\in\mathfrak{m}_{x}$
az (a) r\'esz miatt $\Rightarrow \alpha_1\left[\frac{\partial f}{\partial x_1}\right]=\left[x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}\right]\in\mathfrak{m}_{x}^{2}$
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{prop}
Ha $D:\mathcal{O}_{M,x}\to\mathbb{R}$ lok\'alis deriv\'al\'as, akkor
\begin{enumerate}[(1)]
\item $D(konst)=0$
\item Az \"osszes lok\'alis deriv\'al\'as egy $n$ dimenzi\'os val\'os vektorteret alkot.
\item $\forall D:\mathcal{O}_{M,x}\to\mathbb{R}$ lok\'alis deriv\'al\'ashoz
$\exists a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}:$
\begin{equation}
D([f])=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)
\end{equation}
\'es az im\'enti formula mindig egy lok\'alis deriv\'al\'ast ad.
\item $x$-beli lok\'alis deriv\'al\'asok $\simeq T_{x}M$
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item $D(1)=D(1\cdot 1)=1\cdot D(1)+1\cdot D(1)=2D(1)\Rightarrow D(1)=0$, az $\mathbb{R}$-linearit\'as miatt $D(konst)=0$.
\item $D(f)=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ lok\'alis
deriv\'al\'as az $\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ sima f\"uggv\'enyek parci\'alis
deriv\'al\'as\'ara vonatkoz\'o szorzatszab\'aly miatt.

M\'asr\'eszt, ha $f$ \'es $g$ elt\H unik $x$-ben, akkor egy $D$ lok\'alis
deriv\'al\'asra $D(fg)=f(x)D(g)+D(f)g(x)=0$, \'igy $D$ nulla $\mathfrak{m}_{x}^{2}$-en,
teh\'at az $x_{1},\ldots,x_n$-en felvett \'ert\'ekei egy\'ertelm\H uen meghat\'arozz\'ak, ha
ezek $a_1,\ldots,a_n$ akkor
\begin{equation}
D=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial}{\partial x_i}\big|_x
\end{equation}
\item Az el\H oz\H o pontb\'ol r\"ogt\"on k\"ovetkezik:
\begin{equation}
\mathbb{R}^{n}\to Lok.der.\quad(a_1,\ldots,a_n)\mapsto \sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial}{\partial x_i}\big|_x
\end{equation}
\item Ha $v\in T_{x}M$ $M$-beli g\"orb\'ek ekvivalenciaoszt\'alya, $\gamma:(-1,1)\to M$
egy reprezent\'ans g\"orbe, akkor
\begin{equation}
D_{v}(f):=\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)(0)\big|_{t=0}
\end{equation}
egy lok\'alis deriv\'al\'as, a l\'ancszab\'aly miatt
\begin{equation}
a_i=\frac{d}{dt}(x_i(\gamma(t)))\big|_{t=0}
\end{equation}
a $v\mapsto D_{v}$ hozz\'arendel\'es line\'aris, bijekt\'iv, teh\'at vektort\'er-izomorfizmus.
\end{enumerate}
\end{proof}


\end{document}
