Állítás: Az érintőtér két definíciója megegyezik.

Bizonyítás: Legyen γ : (−ε, ε) → M, γ(0) = x egy sima görbe, f ∈ O_{M,x}.

Ekkor γ megad egy lokális derivációt (tulajdonképpen a γ̇(0) irányú iránymenti deriváltat) az alábbi módon:

D_{γ}(f) = \frac{d}{dt}(f(γ(t)))|_{t=0}.

Ha x_{1}, …, x_{n} x-beli lokális koordináták (Feladat: Ez így nem teljesen precíz, találjuk meg a korrekt formalizmust.), akkor a láncszabály miatt

D_{γ}(f) = \frac{d}{dt}(f(γ(t)))|_{t=0}

= ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂x_{j}} (γ(0)) \frac{d}{dt}(x_{i}(γ(t)))|_{t=0}

= ∑_{i=1}^{n} \underbrace{(\frac{d}{dt}(x_{i}(γ(t)))|_{t=0})}_{a_{i}:=} \frac{∂f}{∂x_{i}} (x).

A két érintőtér definíció egyaránt n-dimenziós vektorteret ad, amelyek közt (γ) → D_{γ} egy szürjektív lineáris leképezés, ami szükségképpen egy homomorfizmus is egyben. □

Állítás: T_{x}M ≃ (m_{x}/m_{x}^{2})^{∗}.

Bizonyítás: Láttuk, hogy mindkét oldal n-dimenziós, így elég valamelyik irányban egy szürjektív leképezést találni.

Legyen x lokális deriváció,

m_{x} ⟶ ℝ
(f) ⟼ x(f)

lineáris leképezés, amely ≡ 0 m_{x}^{2}-en, s így egy

m_{x}/m_{x}^{2} ⟶ ℝ

(f) + m_{x}^{2} ⟼ x(f)

lineáris leképezést indukál. Korábban láttuk, hogy ez szürjektív. □

Állítás: Legyen X egy vektormező M-en; X megadja C^{∞}(M, ℝ) egy derivációját az alábbi módon: f ∈ C^{∞}(M, ℝ) esetén

X(f)(m) := X_{m}(f).

Ez ∈ C^{∞}(M, ℝ), mivel X sima vektormező. □

Állítás:

Der_{ℝ}C^{∞}(M, ℝ) ⟷^{1:1} Γ(M, τM)

D ⟼ ∃!X vektormező, melyre ∀f ∈ C^{∞}(M, ℝ) : D(f) = X(f).

Bizonyítás: Legyen x ∈ M, f ∈ C^{∞}(M, ℝ).

Belátjuk, hogy ha (f)_{x} = 0, akkor D(f)(x) = 0. Ha ez megvan, akkor D indukál egy X_{x} : O_{M,x} ⟶ ℝ lokális deriválást.

(f) = 0 ⇒ ∃V ∋ x kis környezet, amelyben

f|_{V} ≡ 0

⇒ ∃ sima g függvény, hogy gf = f és g(x) = 0. ⇒ D(f)(x) = g(x)D(f) + f(x)D(g) = 0.

Legyenek most x_{1}, …, x_{n} lokális koordináták egy U ⊆ M nyílt halmazon. Ekkor ∀x ∈ U ∃a_{1}(x), …, a_{n}(x) ∈ ℝ, hogy

X_{x} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x)\frac{∂}{∂x_{i}} .

Az egyetlen kérdés, hogy az a_{i}-k simán függnek-e x-től, de ez rendben van, mert

a_{i}(x) = D(x_{i}).

□

Állítás: Ha X, Y sima vektormezők, akkor lokális koodinátákban

(X = ∑_{i} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} , Y = ∑_{i} b_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} )

[X, Y] = ∑_{i,j} (a_{j} \frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} − b_{j} \frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} ) \frac{∂}{∂x_{i}} .

Bizonyítás: Közvetlen számolás + a másodrendű vegyes parciális deriváltak egyenlők. □

Definíció: Egy X sima vektormező G-n balinvariáns, ha T_{g}(L_{g})(X_{h}) = X_{gh}.

Állítás: Legyen G Lie-csoport.

(a.) A balinvariáns vektormezők egy ℝ vektorteret alkotnak, amely zárt [ , ]-ra nézve; [ , ]-vel Lie-algebra.

(b.) dim = dim G

(c.) ∀x_{i} ∈ T_{1}G ∃! X balinvariáns vektormező, amelyre (X)_{1} = x_{1}.

Bizonyítás: ∀x_{1} ∈ T_{1}G (*) X_{g} := T L_{g}(x_{1}) balinvariáns vektormező (ellenőrizzük a simaságot); megfordítva, definíció szerint (*) teljesül ∀ balinvariáns vektormezőre, ha (X)_{1} = x_{1} ⇒ balinvariáns vektormezők ≃ T_{1}G. □