<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN">
<!-- saved from url=(0053)http://www.math.bme.hu/~makraim/szamelmelet/index.htm -->
<!-- saved from url=(0053)http://www.math.bme.hu/~makraim/szamelmelet/index.htm --><HTML><HEAD><TITLE></TITLE>
<META http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=windows-1250">
<META content="Microsoft FrontPage 4.0" name=GENERATOR></HEAD>
<BODY bgColor=#669900>
<h1>Számelmélet-gyakorlat, Hegedűs Gábor, 2006/07 ősz</h1>
<p><font color="#FFFF00"><b>Szóljatok, ha valahol hiba van!</b></font></p>
<h2> <font color="#FFFF00">Helyesbítés </font>a 10. feladatsor 9. feladatáról </h2>
<p>Az a megoldás, amit sokan beadtatok, és nem adtam rá pontot, nagyjából jó
volt. Aki meg tudja mondani, hogy miért (és + van a sora végén), az kap rá várhatóan
6 pontot. (Mert két lényeges hiba van, amire 2--2 pontot vonok le.) Köszönet
<font color="#FFFF00">Szabó Viktornak</font> az indolklásért (és <font color="#FFFF00">Szabó
Péternek</font> a ,,szervezésért" :-). Nekik már megadtam.)</p><h2>A 11.,
utolsó feladatsort </h2>
<p>pénteken (15-én) 12h-tól javítom a H épületben, és Gábornak odaadom,
ha kész.</p>
<TABLE width="100%" border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">1.</TD>
<TD width="5%"> 2.</TD>
<TD width="5%"> 3.</TD>
<TD width="5%"> 4.</TD>
<TD width="5%"> 5.</TD>
<TD width="5%">6.</TD>
<TD width="5%"> 7.</TD>
<TD width="5%">8.</TD>
<TD width="5%">9.</TD>
<TD width="5%"> 10.</TD>
<TD width="5%"> 11.</TD>
<TD width="5%">12.</TD>
<TD width="5%">Össz</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Gubek</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">14</TD>
<TD width="5%"> 1</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%">19</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> 16</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">140</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Kareczki</TD>
<TD width="5%">28</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> 6</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> 21</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">28</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">225</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Kolossváry</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">253</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Koszta</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">26</TD>
<TD width="5%"> 15</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> 8</TD>
<TD width="5%"> 24</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 17</TD>
<TD width="5%"> 21</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">186</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Kovács</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">175</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Kozma</TD>
<TD width="5%">19</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">16</TD>
<TD width="5%"> 13</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">24</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%">15</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 15</TD>
<TD width="5%"> 21</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">165</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Larabi</TD>
<TD width="5%">14</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 1</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">14</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> 11</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">162</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Mácsai</TD>
<TD width="5%">25</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 18</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> 15</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 16</TD>
<TD width="5%"> 13</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">202</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Mikulán</TD>
<TD width="5%">23</TD>
<TD width="5%"> 21</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">10</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">15</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">172</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Molnár</TD>
<TD width="5%">22</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 24</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">28</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 16</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">15</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">203</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Nagy</TD>
<TD width="5%">30</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 7</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">280</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Pinczés</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%">30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 24</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">261</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Pintye</TD>
<TD width="5%">30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> 24</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">289</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Rivnyák</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> 5</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">35</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Semler</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">11</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> 16</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%">9 </TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> 11</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">174</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Sepsi</TD>
<TD width="5%">21</TD>
<TD width="5%"> 21</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> 8</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 18</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">184</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Suszter</TD>
<TD width="5%">10</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> 3</TD>
<TD width="5%"> 8</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">41</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Szabó P.</TD>
<TD width="5%">30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%">15 </TD>
<TD width="5%">25</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%">23</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">291</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Szabó V.</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> 30</TD>
<TD width="5%"> 29</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">280</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Sziráki</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">10</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 24</TD>
<TD width="5%"> 10</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> 17</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">213</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Szűcs</TD>
<TD width="5%">24</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> 3</TD>
<TD width="5%"> 3</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">13</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">153</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Tóth</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 3</TD>
<TD width="5%"> 4</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">47</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Treit</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%">12</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> 9</TD>
<TD width="5%"> 12</TD>
<TD width="5%"> 7</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">18</TD>
<TD width="5%"> 8</TD>
<TD width="5%"> 17</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">152</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Tűz</TD>
<TD width="5%">24</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%">30 </TD>
<TD width="5%">12</TD>
<TD width="5%"> 21</TD>
<TD width="5%"> 22</TD>
<TD width="5%"> 13</TD>
<TD width="5%"> 24</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 28</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">243</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Urbán</TD>
<TD width="5%">20</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">10</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">15</TD>
<TD width="5%"> 14</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">59</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Varjas</TD>
<TD width="5%">30</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> 15</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">24</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 9</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 20</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">218</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
<TR>
<TD width="5%">Winkler</TD>
<TD width="5%">24</TD>
<TD width="5%"> 27</TD>
<TD width="5%"> 25</TD>
<TD width="5%"> 11</TD>
<TD width="5%"> 23</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">10</TD>
<TD width="5%"> 19</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> 17</TD>
<TD width="5%"> 26</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%">208</TD>
<TD width="5%"> +</TD>
<TD width="5%"> </TD>
<TD width="5%"> </TD>
</TR>
</TBODY></TABLE>
<p>Korábbi szempontok és kérések:</p>
<ul>
<li>Szomorúan láttam, hogy újra lemásoltok úgy feladatokat, hogy nem értetek
az egészből semmit (pl. alsó indexszel ellátott fí függvény, rend
helyett, aminek tényleg van alsó indexe). Volt olyan feladat, amire
(bizonyos szempontból igazságtalanul) emiatt 0 pontot adtam. Őszintén
mondom, hogy semmi értelme másolni.</li>
<li>
<h3>A 9. feladatsor 5. feladatának pontozásáról </h3>
<p>A helyes megoldás lényegében a következő: A 8<i>k</i>+7 alakú számok
111-re végződnek kettes számrendszerben. Ilyen alakú prímből a Dirichlet-tétel
szerint (8,7) = 1 miatt végtelen sok van, így a válasz az, hogy végtelen sok
van. <br>
Az, hogy a 8<i>k</i>+7 alakú számok 111-re végződnek kettes számrendszerben,
<b>5</b> pontot ért. Ha valaki nyilvánvalóan a fordítottját mondta ki,
akkor is feltételeztem, hogy ,,valójában" jól gondolja, így ebben az
esetben is adtam 3 pontot. Ezt nem nagyon kellett indokolni, de valaki megnézte
az első néhány számra, amiből arra következtettem, hogy nem világos neki
a dolog, tőle levontam pontot.<br>
Az, hogy ilyen alakú prímből a Dirichlet-tétel szerint végtelen sok van, <b>3</b>
pont, (8,7) = 1 ellenőrzése további <b>kettő</b>. Ha valaki nem hivatkozott
a tételre, de maga próbálta bizonyítani, akkor azt pontoztam legfeljebb 5
ponttal. Vegyes megoldás esetén (Dirichlet-re hivatkozás (8,7) = 1 nélkül +
saját bizonyítás) a jobbik pontszámot adtam. Ha nem értettem vagy nem
tudtam elolvasni a bizonyítás végét, akkor levontam 2--3 pontot. </p>
</li>
<li>A feladatsorok Bálint honlapján elérhetők: <a href="http://www.math.bme.hu/~fbalint/oktatas/szamelm_2006-2007-1/szamelmindex.html">http://www.math.bme.hu/~fbalint/oktatas/szamelm_2006-2007-1/szamelmindex.html</a> </li>
<li>Ha nem értetek egy feladatot, kérdezzetek akár Gábortól, akár tőlem.
<a href="mailto:makraimarci@chello.hu">makraimarci@chello.hu</a> , (20)
378-2952, a számelmélet-előadásotok idején a H45A-ban van órám, aki
akar, megtalál.</li>
<li>Pinczés Józsit ezúton megkövetem, mert már két adminisztrációs hibát
is vétettem ellene. Legyetek éberek!</li>
<li>A ,,felbontás irreducíbilis polinomokra" azt jelenti, hogy irreducíbilis
polinimok szorzataként való felírás. </li>
<li>5. feladatsor: Ha
valakitől a másodfokú kongruenciánál nem fogadtam el az (<i>x</i>,27) =
1-hez a modulo 3-as érvelést, az szóljon, mert akkor véletlenül hagytam úgy.</li>
<li>Nem jó, ha egy feladaton látszik, hogy anélkül másoltátok le valakiről,
hogy megértettétek volna.</li>
<li>Figyeljetek oda, hogy éppen melyik irányt bizonyítjátok, merre halad a
gondolatmenet</li>
<li>Jelöljétek, hogy mi miből következik</li>
<li>Ne azt írjátok le, hogy hogyan lehet rájönni a megoldásra, hanem azt,
hogy mi a megoldás, és az miért jó. Például az ellenpéldás feladatot
így jó kezdeni: Legyen <i>a </i>=..., <i>b </i>=... Ekkor...</li>
<li>Ha tételre hivatkoztok, látszódjon, hogy ellenőriztétek a feltételeket.
(pl. Euler--Fermat-tétel: <i>a</i>^fi(<i>m</i>) kongruens 1 mod <i>m</i>, ha (<i>a</i>,<i>m</i>)
= 1 )</li>
<li>Ha tudatában vagytok, hogy hiányzik a gondolatmenetetekből egy láncszem,
akkor ezt írjátok le, minőségibb lesz tőle a munkátok</li>
</ul>
<p> </p>
</BODY></HTML>